Comment reconnaître et tracer une symétrie axiale ?

Un papillon aux ailes ouvertes, un visage, la tour Eiffel ou la lettre A : tous ces exemples ont un point commun, ils sont symétriques. En maths, on parle de symétrie axiale (ou symétrie par rapport à une droite). Cette notion, étudiée dès le CE2 et approfondie en 6e, peut paraître abstraite au premier abord. Pourtant, elle repose sur une idée très simple : le pliage. Dans cet article, nous allons voir comment reconnaître un axe de symétrie, puis comment tracer le symétrique d’un point et d’une figure, sur papier blanc ou sur quadrillage, sans se tromper.

Qu’est-ce que la symétrie axiale ?

Deux figures sont symétriques par rapport à une droite lorsqu’elles se superposent parfaitement quand on plie la feuille le long de cette droite. Cette droite s’appelle l’axe de symétrie. On la note souvent (d).

On peut aussi imaginer un miroir posé sur l’axe : la deuxième figure est le reflet de la première. Elle a exactement la même forme et les mêmes dimensions, mais elle est « retournée ».

Sur ce dessin, le point A′ (on lit « A prime ») est le symétrique du point A. Remarque que A et A′ sont à la même distance de l’axe, et que le segment [AA′] coupe l’axe en formant un angle droit.

Comment reconnaître un axe de symétrie dans une figure ?

Parfois, on ne cherche pas le symétrique d’une figure, mais on se demande si une figure est symétrique à elle-même. On dit alors qu’elle possède un ou plusieurs axes de symétrie.

L’astuce du pliage

Imagine que tu plies la figure le long d’une droite. Si les deux moitiés se recouvrent exactement, sans dépasser, cette droite est un axe de symétrie. Si un morceau dépasse, ce n’est pas un axe.

Les axes des figures usuelles

• Carré : 4 axes (les 2 diagonales et les 2 droites qui passent par le milieu des côtés).
• Rectangle : 2 axes seulement. Attention, ses diagonales ne sont pas des axes de symétrie !
• Losange : 2 axes, ses deux diagonales.
• Triangle équilatéral : 3 axes ; triangle isocèle : 1 axe ; triangle quelconque : aucun axe.
• Cercle : une infinité d’axes, car toute droite qui passe par son centre est un axe.
• Parallélogramme (qui n’est ni un rectangle ni un losange) : aucun axe de symétrie.

Et les lettres ?

Les lettres majuscules sont un excellent entraînement. A, M, T, V ont un axe vertical ; B, C, D, E ont un axe horizontal ; H, I et X en ont deux. En revanche, N, S et Z n’en ont aucun.

Quelles sont les propriétés de la symétrie axiale ?

La symétrie axiale « conserve » beaucoup de choses. C’est ce qui permet de vérifier son tracé :

• les longueurs sont conservées : si [AB] mesure 4 cm, [A′B′] mesure aussi 4 cm ;
• les angles sont conservés : un angle droit reste un angle droit ;
• les aires et les périmètres sont conservés ;
• l’alignement est conservé : des points alignés ont des symétriques alignés ;
• un point situé sur l’axe est son propre symétrique : il ne bouge pas.

La seule chose qui change, c’est le sens : la figure est retournée, comme dans un miroir. Si les sommets de ABCD tournent dans le sens des aiguilles d’une montre, ceux de A′B′C′D′ tournent dans l’autre sens.

Comment tracer le symétrique d’un point ?

Sur une feuille blanche, on utilise une équerre et une règle (ou un compas). Voici la méthode en trois étapes.

Étape 1 : tracer la perpendiculaire

Place l’équerre le long de l’axe (d) et trace la droite qui passe par A et qui est perpendiculaire à (d). Elle coupe l’axe en un point que l’on peut appeler H.

Étape 2 : mesurer la distance

Mesure la longueur AH avec la règle. Par exemple, AH = 3 cm.

Étape 3 : reporter de l’autre côté

De l’autre côté de l’axe, sur la même perpendiculaire, place le point A′ tel que HA′ = AH, soit 3 cm. Avec un compas, c’est encore plus précis : pointe sur H, écartement jusqu’à A, et trace un arc de l’autre côté.

Comment tracer le symétrique d’une figure sur un quadrillage ?

Sur un quadrillage, pas besoin d’équerre : il suffit de compter les carreaux. C’est la méthode la plus utilisée à l’école primaire et en 6e.

La méthode sommet par sommet

• repère les sommets de la figure (A, B, C, D…) ;
• pour chaque sommet, compte le nombre de carreaux qui le séparent de l’axe, perpendiculairement à l’axe ;
• reporte le même nombre de carreaux de l’autre côté, sur la même ligne (axe vertical) ou la même colonne (axe horizontal) ;
• relie les nouveaux sommets dans le même ordre que la figure de départ.

Et si l’axe est en diagonale ?

Lorsque l’axe traverse les carreaux en diagonale, on ne compte plus horizontalement, mais en diagonale, en passant d’un coin de carreau à l’autre, perpendiculairement à l’axe. Astuce : tourne ta feuille pour que l’axe devienne vertical, c’est beaucoup plus facile à voir !

Où rencontre-t-on la symétrie dans la vie de tous les jours ?

La symétrie est partout autour de nous, ce qui la rend facile à observer :

• dans la nature : les ailes d’un papillon, une feuille d’arbre, le corps humain (presque) ;
• en architecture : les façades de monuments, les fenêtres, les ponts ;
• dans les logos, les drapeaux et les panneaux de signalisation ;
• dans les arts : les rosaces, les frises, les motifs de tissus et le pliage-découpage.

Une bonne activité à la maison : plier une feuille en deux, découper une forme le long du pli, puis déplier. On obtient une figure parfaitement symétrique, et le pli est l’axe !

Quelles sont les erreurs fréquentes ?

• Décaler au lieu de retourner : recopier la figure à côté de l’axe sans l’inverser. C’est une translation, pas une symétrie.
• Mal compter les carreaux : on compte la distance entre le point et l’axe, pas entre le point et le bord de la feuille.
• Ne pas tracer perpendiculairement : quand l’axe est oblique, on reporte souvent la distance à l’horizontale, ce qui est faux.
• Croire que les diagonales du rectangle sont des axes : si on plie un rectangle selon une diagonale, les deux triangles ne se superposent pas.
• Oublier les points sur l’axe : un point placé sur l’axe reste au même endroit.

Petit test : entraîne-toi sur la symétrie axiale

Exercice 1

Combien d’axes de symétrie possède un carré ?

Réponse : 4 axes. Les deux diagonales et les deux droites qui passent par les milieux des côtés opposés.

Exercice 2

Sur un quadrillage, l’axe (d) est vertical. Le point A est situé à 3 carreaux à gauche de l’axe. Où se trouve A′ ?

Réponse : à 3 carreaux à droite de l’axe, sur la même ligne. A et A′ sont toujours à la même distance de l’axe, de part et d’autre.

Exercice 3

Un triangle ABC a un périmètre de 15 cm. Quel est le périmètre de son symétrique A′B′C′ ?

Réponse : 15 cm. La symétrie axiale conserve les longueurs, donc le périmètre ne change pas.

Exercice 4

Parmi les lettres A, B, N, O et Z, lesquelles possèdent au moins un axe de symétrie ?

Réponse : A, B et O. A a un axe vertical, B un axe horizontal et O en a deux. N et Z n’en ont aucun : quand on les plie, les deux moitiés ne se superposent pas.

La méthode à retenir

Pour réussir une symétrie axiale, retiens trois mots : perpendiculaire, même distance, de l’autre côté. Chaque point et son symétrique sont sur une même perpendiculaire à l’axe, à égale distance de celui-ci. Sur un quadrillage, compte les carreaux sommet par sommet, puis relie les points dans le même ordre. Et pour vérifier, pense au pliage : si ta figure se superpose à l’originale en pliant la feuille le long de l’axe, c’est gagné !

Comme pour la règle de trois, la clé est d’appliquer une méthode simple, étape par étape, plutôt que de tracer « à l’œil ».

Envie de t’entraîner tout de suite ? Teste tes connaissances avec notre jeu interactif de la symétrie : compte les axes de symétrie des figures, place le symétrique d’un point et complète des figures sur quadrillage, avec une correction et une astuce à chaque réponse.